Графики сложных функций

1. Определение сложной функции

В математике сложной функцией называют функцию от функции, когда функция зависит от аргумента не непосредственно, а через “промежуточную” функцию:

y = F [ f (x) ] (1)

Если обозначить f (x) через v, то получим:

y = F (v) (1a)

где v = f (x) - промежуточная функция.

Промежуточную функцию v = f (x) называют внутренней, а функцию y = F (v) - внешней, например:

y = lg v, где v = sin x;

y = sin v, где v = arccos x;

Термин “сложная” функция не является понятием сложности начертания или исследования функции, а указывает на вид, “конструкцию” функциональной зависимости.

Сложная функция может иметь и большее количество ступеней (в общем случае n - ступеней), например, функция

y = ( lg sin x )^1/2 имеет “трехступенчатую” функциональную зависимость функции y от аргумента x:

y = Ф {F [f (x)]}, (2)

где:

v = f (x) = sin x - тригонометрическая функция;

u = F (v) = lg v - логарифмическая функция;

y = Ф (u) = u^1/2 - степенная функция.

2. Построение графиков сложных функций

Графики сложных функций можно строить, как и графики простых, на основании общего исследования функции, используя приемы программирования, изложенные в предыдущих занятиях, в которых некоторые задания на самостоятельную работу являются сложными функциями.

В данном занятии предлагаются для изучения новые приемы для построения графиков сложных функций.

При исследовании сложной функции, в частности функции от функции, следует быть особенно внимательным при определениии области существования и установлениии общих свойств функции, как четность, нечетность, периодичность.

При исследовании области существования сложной функции (1) следует обратить внимание на то, что в область существования войдут только те значения аргумента из области существования внутренней функции v = f (x), для которых соответствующие значения внутренней функции v, рассматриваемые как аргумент внешней функции y = F (x), войдут в ее область существования. Для иных значений x функция (1) не имеет смысла.

Построение графика можно значительно облегчить, если предварительно построить график внутренней функции для определения свойств функции (четность, нечетность, периодичность) и области ее существования. Затем построить график заданной функции для участка, ограниченного одним периодом для периодической и правой частью для четной и левой частью для нечетной функций.

Итак, построение графика сложной функции следует производить по следующему алгоритму:

1. Определить количество промежуточных функций (ступеней) и записать каждую промежуточную функцию в виде простой (1), (2) и т. д.

2. Построить график n - ной промежуточной функции и определить ее общие свойства: область существования (определения), четность, нечетность, периодичность.

3. Построить график n - 1 промежуточной функции, используя значения n - ной функции в качестве аргумента и определить ее общие свойства и т. д.

4. На основании графиков промежуточных функций построить график заданной функции.

2.1. Примеры построения графиков сложных функций

В качестве примеров построения графиков сложных функций приводятся программы построения (см. приложения).

1. Функция y = ln cos x

Запишем внутреннюю функцию как v = cos x, тогда внешняя функция будет y = ln v.

Область существования внутренней функции v = cos x - вся числовая ось, но так как эта функция является аргументом внешней логарифмической функции, то в область существования этой функции входят только те значения аргумента x, для которых v = cos x > 0, т.е. положительные полуволны косинусоиды. Функция v = cos x изменяется от 0 до 1. Логарифм единицы равен 0, а логарифм 0 не существует, следовательно кривая заданной функции расположена ниже оси абсцисс, а область определения - множество полуинтервалов:

2* n - /2 < x < 2* n + /2

где: n - любое действительное число.

Заданная функция четная, т. к. внутренняя функция четная.

Программа построения графика данной функции приведена в приложении 1.

2. Функция y = (arcctg² x)^1/2

Данная сложная функция может быть записана через две промежуточные:

w = x²

v = arcctg w

и основную:

y = v^1/2

Общие свойства данной функции определяются по второй вспомогательной функции w = x² , которая является степенной с положительным показателем степени. Вторая вспомогательная функция четная, непериодическая, областью существования которой является вся числовая ось. Кривая графика исходной функции лежит выше оси ординат.

Программа построения графика приведена в приложении 2.

Приложение 1

‘Программа построения графика сложной функции
‘y = ln cos x
‘
CLS ‘Очистить экран
SCREEN 12 ‘Установить графический режим
WIDTH 80, 60 ‘Высота экрана 60 строк
pi = 3.14 ‘Значение pi
'
‘Текстовое оформление графика
‘
LOCATE 8, 45: PRINT “ФУНКЦИЯ: Y = Ln COS X”
LOCATE 13, 42: PRINT “Внутренняя функция: v = cos x”
LOCATE 15, 42: PRINT “Внешняя функция: y = ln v”
LOCATE 18, 42
PRINT “ Вспомогательный график внутренней”
LOCATE 20, 42
PRINT “функции изображен точками. Это”
LOCATE 22, 42: PRINT “косинусоида.”
LOCATE 24, 42
PRINT “ Значения внутренней функции”
LOCATE 26, 42
PRINT “используются в качестве аргумента”
LOCATE 28, 42
PRINT “внешней логарифмической функции.”
LOCATE 30, 10
PRINT “Логарифм отрицательного числа не существует,”; PRINT “поэтому аргументом”
LOCATE 32, 6
PRINT “для внешней логарифмической функции служат”; PRINT “положительные значения”
LOCATE 34, 6
PRINT “внутренней функции - косинусоиды.”
LOCATE 34, 40
PRINT “ Максимальные положительные значения”
LOCATE 36, 6
PRINT “функции v = cos x равны 1, а для внешней”;
PRINT “функции y = ln v значения”
LOCATE 38, 6: PRINT “равны 0.”
LOCATE 38, 15
PRINT “По мере приближения значений внутренней”; PRINT “функции к 0, внешняя”
LOCATE 40, 6
PRINT “стремится к -oo. Функция четная, периодическая”;
PRINT “с периодом 2pi. Область”
LOCATE 42, 6
PRINT “существования функции множество”;
PRINT “полуинтервалов:”
LOCATE 44, 35: PRINT “pi pi”
LOCATE 45, 25: PRINT “2*pi*n - --- < x < 2*pi*n + ---.”
LOCATE 46, 35: PRINT “2 2”
LOCATE 48, 6
PRINT “где n - целые положительные числа.”
LOCATE 54, 20
PRINT “Рис.1. График сложной функции y = ln cos x.”
‘
LOCATE 16, 37: PRINT “0”
LOCATE 12, 37: PRINT “0,5”
LOCATE 8, 37: PRINT “1”
LOCATE 18, 3: PRINT “-0,25”
LOCATE 20, 3: PRINT “-0,5”
LOCATE 22, 3: PRINT “-0,75”
‘
LOCATE 25, 6: PRINT “-4pi”
LOCATE 25, 13: PRINT “-2pi”
LOCATE 25, 22: PRINT “0”
LOCATE 25, 25: PRINT “pi”
LOCATE 25, 28: PRINT “2pi”
LOCATE 25, 32: PRINT “3pi”
LOCATE 25, 36: PRINT “4pi”
‘
‘Организация графического окна 1
VIEW (60, 60)-(280, 180), 8, 8
‘Определение системы координат
WINDOW (-720, 1)-(720, -1)
‘
‘Построение координатной сетки и осей координат
FOR i = -1 TO 1 STEP .1
LINE (-720, i * 2.5)-(720, i * 2.5), 0 ‘Горизонт. линии
LINE (720 * i * 1.25, -1)-(720 * i * 1.25, 1), 0 ‘Вертик. линии
NEXT i ‘Следующий
‘
LINE (-720, 0)-(720, 0), 7 ‘Ось абсцисс
LINE (0, -1)-(0, 1), 7 ‘Ось ординат
‘
‘Цикл построения графика внутренней функции
FOR g = -720 TO 720 STEP 10
rn = g * pi / 180 ‘Пересчет угла в радианную меру
x = g ‘Присвоить “x” значен. угла “g”
v = COS(rn) ‘Расчет функции
PSET (x, v), 15 ‘Изображение точки кривой
NEXT g ‘Следующий
‘
‘Построение графика внешней функции
a = -720: b = -631: GOSUB 10
a = -450: b = -271: GOSUB 10 ‘Задание полуинтервалов и
a = -90: b = 90: GOSUB 10 ‘переход в подпрограмму
a = 271: b = 450: GOSUB 10 ‘расчета и построения
a = 631: b = 720: GOSUB 10 ‘функции
DO ‘Ожидание нажатия любой клавиши для выхода
LOOP WHILE INKEY$ = “” ‘на сообщение QBASIC
END ‘Конец программы
‘
10 : ‘Подпрограмма расчета внешней функции
FOR g = a TO b STEP .5 ‘Цикл построения кривой
rn = g * pi / 180 ‘Пересчет угла в радианную меру
x = g ‘Присвоить “x” значен. угла “g”
v = COS(rn) ‘Расчет внутренней функции
y = LOG(v) ‘Расчет внешей функци
PSET (x, y), 15 ‘Изображение точки кривой
NEXT g ‘Следующий
RETURN ‘Возврат в основную программу


Приложение 2

‘Программа построения графика сложной функции
‘y = sqr(arcctg x^2)
‘
CLS ‘Очистить экран
SCREEN 12 ‘Установить графический режим
WIDTH 80, 60 ‘Задание поля вывода
pi = 3.14 ‘Значение pi
‘
‘Текстовое оформление графика
LOCATE 7, 62: PRINT “-----------”
LOCATE 8, 59: PRINT “| / 2”
LOCATE 9, 45: PRINT “ФУНКЦИЯ: Y = |/ arcctg X”
LOCATE 12, 70: PRINT “2”
LOCATE 13, 42: PRINT “Внутренняя функция 2: w = x”
LOCATE 15, 42
PRINT “Внутренняя функция 1: v = arccos w”
LOCATE 17, 70: PRINT “---"
LOCATE 18, 42: PRINT “Внешняя функция: y = |/ v”
LOCATE 21, 45
PRINT “Вспомогательные графики внутрен-”
LOCATE 23, 42
PRINT “них функций изображены точками.”
LOCATE 25, 45
PRINT “Внутренняя функция 2 - парабола,”
LOCATE 27, 42
PRINT “значения которой используются в”
LOCATE 29, 42
PRINT “качестве аргумента для внутренней”
LOCATE 31, 42: PRINT “функции 1 - v = arccos w.”
LOCATE 33, 45: PRINT “Значения внутренней функции 1”
LOCATE 35, 42
PRINT “используются в качестве аргумента”
LOCATE 37, 42: PRINT “исходной функции.”
LOCATE 39, 45
PRINT “Функция четная, непериодическая,”
LOCATE 41, 6: PRINT “расположена выше оси абсцисс.”
LOCATE 43, 9
PRINT “Область существования функции - открытый”;
PRINT “интервал”
LOCATE 43, 61: PRINT “-oo < x < oo.”
LOCATE 52, 55: PRINT “-----------”
LOCATE 53, 52: PRINT “| / 2”
LOCATE 54, 17
PRINT “Рис.2. График сложной функции Y = |/ arccos X”
LOCATE 43, 10
LOCATE 27, 6: PRINT “pi”
LOCATE 28, 5: PRINT “---”
LOCATE 29, 6: PRINT “2”
LOCATE 21, 37: PRINT “4”
LOCATE 24, 37: PRINT “3”
LOCATE 27, 37: PRINT “2”
LOCATE 30, 37: PRINT “1”
LOCATE 33, 37: PRINT “0”
‘
LOCATE 38, 10: PRINT “-4”
LOCATE 38, 16: PRINT “-2”
LOCATE 38, 22: PRINT “0”
LOCATE 38, 25: PRINT “1”
LOCATE 38, 28: PRINT “2”
LOCATE 38, 31: PRINT “3”
‘
‘Организация графического окна
VIEW (60, 60)-(280, 280), 8, 8
‘Определение системы координат
WINDOW (-5, 9)-(5, -1)
‘Построение координатной сетки'
FOR i = -1 TO 9 STEP .5
LINE (-5, i)-(5, i), 0 ‘Горизонтальные линии
NEXT i
'
FOR i = -5 TO 5 STEP .5
LINE (i, -1)-(i, 9), 0 ‘Вертикальные линии
NEXT i
‘Построение осей координат
LINE (-5, 0)-(5, 0), 7 ‘Ось абсцисс
LINE (0, -1)-(0, 9), 7 ‘Ось ординат
‘
‘Построение графика внутренней функции 2
FOR x = -3 TO 3 STEP .1 ‘Цикл построения графика
w = x * x ‘Вычисление функции
PSET (x, w), 15 ‘Построение точек кривой
NEXT x ‘Следующий
‘Построение графика внутренней функции 1
FOR x = -5 TO 5 STEP .1
w = x * x ‘Вычисление внутренней функции 2
v = pi / 2 - ATN(w) ‘Вычисление внутренней функции 1
PSET (x, v), 15 ‘Построение точек кривой
NEXT x
‘Построение графика внешней функции
FOR x = -5 TO 5 STEP .1
w = x * x ‘Вычисление внутренней функции 2
v = pi / 2 - ATN(w) ‘Вычисление внутренней функции 1
y = SQR(v) ‘Вычисление внешней функции
CIRCLE (x, y), .03 ‘Построение окружностей
NEXT x ‘Следующий
DO ‘Ожидание нажатия любой клавиши для выхода
LOOP WHILE INKEY$ = “” ‘на сообщение QBASIC