Общие свойства функций

1. Область существования (определения), границы изменения функции

На первом занятии было дано определение функциональной зависимости двух величин. При этом может случиться так, что функция не может быть вычислена, начиная с некоторого значения аргумента, например, при вычислении квадратного корня, как только аргумент станет отрицательным. Или, например, если переменная величина является знаменателем некоторой дроби и принимает нулевое значение и т. д.

Следовательно, при некоторых значениях аргумента функция может быть вычислена, а при других нет или может быть вычислена, или не вычислена при любых значениях аргумента. В этом случае говорят, что функция существует или не существует при определенных значениях аргумента.

Определение 1. Областью существования или областью определения функции называется совокупность всех значений аргумента, для которых функция существует и имеет действительные значения.

Например, функции:

y = kx - существует при изменении x от -oo до oo;

y = lg x - существует при изменении x от 0 до oo;

- не существует, когда подкоренное выражение отрицательно.

Из элементарной математики известно, что все многообразие чисел, которыми мы оперируем можно представить в виде точек на некоторой числовой оси. Нулевая точка на этой оси разделит все числа на положительные и отрицательные. Если в некотором масштабе обозначить на этой оси целые числа, то между целыми будут находится числа, составляющие часть целого, т. е. дробные, между дробными дробные дробных и т. д.

Определение 2. Совокупность всех точек числовой оси, заключенных между двумя какими либо точками этой оси, называется промежутком.

Определение 3. Промежуток, в котором его концы входят в область существовония функции, называется замкнутым или закрытым, а так же сегментом или отрезком.

Например, функция y = arcsin x имеет замкнутый промежуток [ -1, 1 ].

Замкнутый промежуток обозначается квадратными скобками - [ ].

Определение 4. Промежуток, в котором его концы не входят в область существовония функции, называется открытым или интервалом.

Например, функция y = lg x имеет интервал или открытый промежуток (0, oo).

Интервал обозначается круглыми скобками - ( ).

Определение 5. Промежуток, в котором один конец входит в область существовония функции, а другой нет, называется полуоткрытым или полуинтервалом.

Например, функция имеет область существования в двух полуинтервалах ( - oo, - 3], [ 3, oo).

Полуинтервал обозначается круглой и квадратной скобками - ( ] или [ ).

 

2. Четность и нечетность, симметрия и периодичность функций

Определение 1. Функция называется четной, если она не меняет своего значения при изменении знака аргумента т.е. f (-x) = f (x).

Определение 2. Функция называется нечетной, если она меняет свой знак при изменении знака аргумента, но сохраняет свою абсолютную величину (модуль) т.е. f (-x) = - f (x).

Например:

-степенные функции вида y = kx2n - четные;

- степенные функции вида y = kx2n+1 - нечетные.

Определение 3. Модулем или абсолютным значением числа называется само число, если оно не отрицательно и число с противоположным знаком, если оно отрицательно, т е. | x | = x и | - x | = x.

Функция является четной, если аргумент находится под знаком модуля.

Например, линейная функция y = k | x |.

Кривые на графиках четных функций симметричны относительно оси ординат, а кривые нечетных функций относительно начала координат.

Определение 4. Функция называется периодической, если существуют постоянные не равные нулю числа, от прибавления которых к аргументу значение функции не изменится:

f (x + kp) = f (x), при k целом положительном или отрицательном.

Определение 5. Наименьшее положительное число p, от прибавления которого к аргументу не изменяется значение функции, называется периодом функции.

 

3. Основные элементарные функции. Элементарные и алгебраические функции

3. 1. Основные элементарные функции

Определение 1. Основными элементарными функциями называются следующие, аналитическим способом заданные функции.

1. Степенная функция: y = x a,

где a - действительное число.

2. Показательная функция: y x = a ,

где a - положительное число, не равное единице.

3. Логарифмическая функция: y = loga x,

где а - основание логарифмa (положительное число, не равное единице).

4. Тригонометрические функции:

y = sin x, y = cos x, y = tg x,

y = ctg x, y = sec x, y = cosec x.

5. Обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x,

y = arcctg x, y = arcsec x, y = arccosec x.

В математическом анализе, да и не только в нем, имеет место понятие сложной функциональной зависимости, в которой арумент u некоторой функции y является в свою очередь функцией от переменной x и т. д. Следовательно функция y также зависит от аргумента x и т. д.

Определение 2. Если аргумент u функции y = F ( u ) является функцией u = g ( x ), то y также является функцией от переменной x и называется функцией от функции или сложной функцией

y = F [ g ( x ) ]

Например, пусть y = sin g, g = (x+1) ,

тогда y = sin ( x+1 ) является сложной функцией от переменной x.

3. 2. Элементарные функции

Определение 1. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана в виде y = f (x), где справа стоящее выражение составлено из основных элементарных функций, постоянных при помощи конечных операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Например, функция: y = 1 + 4 cos x + ln | x |

 

3. 3. Алгебраические функции

Определение 1. Алгебраическими функциями называются элементарные функции следующего вида:

1. Целая рациональная функция или многочлен

y = a0 xn + a1 xn-1 + ... + an

где: a0 , a1 , ... , an - постоянные коэффициенты;

n - целое положительное число, называемое степенью многочлена.

Например, y = a x + b - линейная функция,

y = ax2 + bx + c - квадратичная функция.

 

2. Дробная рациональная функция

Эта функция определяется как отношение двух многочленов:

Например, функция

является дробной рациональной функцией, которая выражает обратно пропорциональную зависимость.

 

3. Иррациональная функция

Функция y = f ( x ) называется иррациональной, если в правой ее части производятся операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональными нецелыми показателями.

Например, простейшей иррациональной функцией является